Induced Metrics
A) The idea:
GDQ200901v4.pdf; Fr ; 11/01/2009
Induced Metrics [GB; 1,2 MB, 25 pages, 05/12/2009]
[D] In GDQ200901v4.pdf geht es um die vierte und verbesserte Version einer (in französisch geschriebene) Konfrontation zwischen meine Theorie und einen publizierten Artikel: arXiv:0812.0713v1 [hep-th] 3 Dec 2008. Eigentlich die Gelegenheit meine Gedanken besser einzuordnen. Ich erkläre die Ähnlichkeiten und die wichtige Differenzen mit der im zitierten Artikel entwickelten Theorie.
Zusammenfassung: Was wir "cubes" genannt haben, genügen um Metriken zu bauen. Damit sind wir automatisch in der Welt der algebraische Topologie eingetreten. Das Dokument "Induced metrics" positionniert die intellektuelle Konfrontation von January in einer präziseren und erweiteren Umgebung.
[Fr] Il s'agit de la quatrième version (améliorée) d'une confrontation (écrite en francais) entre ma théorie et l'approche publiée récemment sur le site cité ci-dessus. Une bonne occasion d'ordonner mes idées. J'explique leurs similitudes et leurs différences avec la théorie développée dans l'article cité.
Résumé : Il est possible de démontrer, à l'instar des travaux faits par Ahstekar - années 80 -, que la donnée des cubes définissant les produits étendus peut suffire à construire des métriques. On rentre ainsi de plein pied dans la topologie algébrique. Le nouveau document (en anglais) "Induced Metrics (métriques induites)" situe le travail de janvier dans son environnement intellectuel et expose la globalité de ma démarche.
[GB] This is a confrontation between my construction and the approach developped recently in the article cited above. Similarities and differences are explained.
The main result here is the proof that cubes defining extended products can help to built local metrics (in the same veine as the work of Ashtekar). One thus automaticaly enter into the world of "algebraic topology". The new document "Induced Metrics" situates the intellectual confrontation made in january in a quite more general context. I expose my approach with a more global viewpoint.
B) The role of the properties of the cubes:
[Fr] La démonstration développée ci-dessus fait intervenir des "cubes" qui eux-meme servent à définir une application entre l'espace vectoriel de référence -ici EN(K)- et sa projection dans MN(K). L'ensemble des cubes est doté de propriétés liées à l'influence que peuvent avoir des permutations sur leurs indices. Ainsi si la permutation des deux premiers indices laisse la composante d'un cube inchangée, alors elle est dite symétrique.
Il a pu etre démontré que l'antisymétrie d'un cube permettait de faire de certaines représentations de EN(K) dans MN(K), des images de dérivations intérieures.
L'antisymétrie n'est cependant pas une condition absolument nécessaire à la définitiion de métriques algébriques. C'est ce qu'explique et rappelle le document suivant (en anglais).
[GB] The above demonstration involves the so-called "cubes". They are essential ingredients defining, amongst other things, an application between the space vector of reference -here EN(K)- and its projection space in MN(K). The set of all cubes owns properties which are related to the influence of permutations on the subscripts of the componants. For example: if a permutation leaves a componant inchanged, one says that the former is symmetric.
It can be demonstrated that antisymmetric cubes allows to consider some elements of M(K) as the representation of intern derivations.
But antisymmetry is not an absolutely necessary condition to obtain algebraic (induced) metrics. This is exactly what the following document explains (in english).
[D] Die oben geschriebene Demonstration führt die sogenannte "cubes" als wichtiges Werkzeug ein. Mit ihrer Hilfe kann man eine Projection von EN(K) über MN(K) bauen. Diese abstrakte Objekte besitzen Eigenschaften die mit der Wirkung von Permutationen den Indizien von ihren verschiedenen Komponenten verbunden sind. Zum Beispiel, wenn die Permutation von den zwei ersten unten plazierten Indizien keine Wirkung über das Wert einer Komponent hat, dann ist diese "symmetrisch".
Mit der Hilfe von antisymmetrischen "cubes" können einige Matrizen in MN(K) die Representation von intern Derivationen in EN(K) sein.
Die antisymmetrie ist aber keine notwendige Eigenschaft um eine "induced metric" zu bauen. Es wird im folgenden Dokument weiter erklärt (in english):